Исследована обратная задача идентификации безразмерного коэффициента теплопроводности для уравнения Грина – Нагди III типа, которое описывает распространение тепловых возмущений с конечной скоростью и учитывает инерционные эффекты теплового потока. Для обратной задачи нарушается требование устойчивости (критерий Адамара), в результате чего даже минимальные искажения данных ведут к значительным ошибкам идентификации параметра. В качестве метода решения задачи идентификации использован подход на основе физически информированных нейронных сетей (ФИНС), сочетающий возможности глубокого обучения с априорными знаниями о структуре дифференциального уравнения. Параметр включен в число обучаемых переменных, а функция потерь сформирована на основе дифференциального уравнения, граничных условий, начальных условий и зашумленных экспериментальных данных с точечного датчика. Представлены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие высокую точность восстановления параметра (погрешность менее 0.03%) и устойчивость метода к наличию аддитивного гауссовского шума в данных. Метод ФИНС показал себя как эффективный инструмент решения некорректных обратных задач математической физики.
In this paper, we study the inverse problem of identifying the dimensionless thermal conductivity coefficient for the Green–Naghdi equation of type III, which describes the propagation of thermal disturbances with a finite velocity and takes into account the inertial effects of heat flux. For the inverse problem, the stability requirement (Hadamard criteria) is violated, as a result of which even minimal data distortions lead to significant errors in parameter identification. As a solution method, we use an approach based on physically informed neural networks (PINN), which combines the capabilities of deep learning with a priori knowledge of the structure of the differential equation. The parameter is included among the trained variables, and the loss function is formed based on the deviation from the differential equation, boundary conditions, initial conditions, and noisy experimental data from a point sensor. The results of computational experiments are presented, demonstrating high accuracy of parameter recovery (error less than 0.03%) and the stability of the method with respect to the presence of additive Gaussian noise in the data. The PINN method has proven itself to be an effective tool for solving ill-posed inverse problems of mathematical physics.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.